Źródło: mises.org
Tłumaczenie: Mateusz Czyżniewski
Większość ludzi przynajmniej raz w życiu usłyszała dowcip w stylu: „ile czegoś można wsadzić gdzieś”. Weźmy taki oto przykład:
Pytanie: Ilu kontrabasistów i klarnecistów można wsadzić do budki telefonicznej?
Odpowiedź: Obu.
Żarty o tym, jak wiele czegoś można wsadzić gdzieś rzadko są zabawne (choć fani muzyki klasycznej prawdopodobnie zgadzają się, że powyższy kawał jest całkiem zmyślny). Istotne jest to, że — ironicznie rzecz biorąc — wykazują one pewne podobieństwo do większości modeli ekonomicznych, których esencja polega na odpowiedzi na pytane: ilu handlarzy może znaleźć się, nie w środku budki telefonicznej, lecz wewnątrz rynku.
Oczywiście nie mówimy tu o skończonych ilościach — byłoby to dziecinnie proste. Ekonomiści głównego nurtu, poszukując uogólnienia swoich twierdzeń oraz nieco irytującego „pozoru wiedzy” zajmują się niemal wyłącznie nieskończonościami.
Czy to pojęcie w ogóle występuje w liczbie mnogiej? Tak, co już powinno sugerować nam, jak niebezpieczne i przynoszące efekt przeciwny do zamierzonego może być wykorzystanie matematyki w ekonomii.
Choć może się to wydawać nieprawdopodobne, matematycy mają sposób na rozróżnienie „rozmiarów” nieskończoności. W mowie potocznej „nieskończony” oznacza po prostu o nieskończonej wartości lub, jak ujmuje to słownik Webstera, „bez ograniczeń, bezgraniczne”. Wydaje się to być zgodne z matematyczną koncepcją nieskończoności, o ile rozważamy zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych w sposób następujący: jest on nieograniczony, ponieważ gdyby jakakolwiek liczba miała być jego górną granicą, to wystarczyłoby dodać do niej 1, aby uzyskać w ten sposób inną liczbę, która jest jeszcze większa niż uprzednio postulowana granica.
Nasza intuicja przeczy teorii matematycznej. Jeśli zaczniemy rozważać cechy przedziału jednostkowego[1]: (0,1), to musimy stwierdzić, że jest on również nie tylko nieskończony, ale jednocześnie obustronnie ograniczony przez skończone wartości, tj. od dołu przez 0 i od góry przez 1!
I tu pojawia się wielka niespodzianka: chociaż zarówno przedział jednostkowy, jak i cały zbiór liczb całkowitych są nieskończone, to o tym pierwszym można sensownie powiedzieć, że jest „większy” od tego drugiego. Ale jak w ogóle można porównać te dwa zbiory, skoro oba mają nieskończenie wiele elementów? Cóż, wyobraźmy sobie ogromną i zatłoczoną salę balową podczas balu maturalnego, powiedzmy, że chcemy sprawdzić, czy na balu jest więcej dziewcząt niż chłopców. Oczywiście nie ma sensu próbować policzyć ich wszystkich — jest ciemno, ludzie się przemieszczają, zatem prawdopodobnie prędzej czy później popełnimy błąd.
Można jednak kazać wszystkim dobrać się w pary i zacząć tańczyć — wtedy, jeśli okaże się, że np. kilku chłopców siedzi samotnie zamiast tańczyć. Oznacza to, że chłopcy są liczniejsi niż dziewczęta! Na bazie tego prostego przykładu wynika, że nie trzeba liczyć elementów dwóch zbiorów (co jest oczywiście niemożliwe, jeśli są one nieskończone), aby wiedzieć, który z nich jest „większy”.
Teraz, używając odrobiny aparatu matematycznego, można podobnie udowodnić, że dowolny przedział jednostkowy — powiedzmy (0,1) — ma tyle samo elementów, co cały zbiór liczb rzeczywistych (-∞,∞) i jednocześnie jest większy od zbioru liczb całkowitych dodatnich, tj.: 1, 2, 3....
Na koniec należy wspomnieć o jednej kwestii terminologicznej, zanim przejdziemy do modeli ekonomicznych: nieskończoność liczb rzeczywistych jest często nazywana nieskończonością nieprzeliczalną (zbiorem nieskończenie nieprzeliczalnym – przyp. tłum.) lub kontinuum, co — będąc w istocie wysoce abstrakcyjną terminologią — stało się nieodzownym elementem artykułów naukowych obecnych w czasopismach głównego nurtu.
Weźmy na przykład prestiżowy American Economic Review. Proste wyszukiwanie w bazie JSTOR wskazuje, że począwszy od połowy lat 60., słowo continuum (używane do określenia „większej” nieskończoności) zostało użyte w około 400 artykułach. Zatem, jeśli weźmie się pod uwagę fakt tego, że AER publikuje około 40 artykułów rocznie, to z pewnością wskazuje on na narodziny nowej, nadzwyczaj absurdalnej mody w ekonomii. Niemniej jednak niewielu ekonomistów wydaje się być zaniepokojonych tym raczej niekorzystnym obrotem wydarzeń — godnym uwagi wyjątkiem jest Paul Ormerod, który w swojej książce The Death of Economics pisze:
Przytoczmy tylko jeden przykład, w wielu teoretycznych artykułach na temat wyidealizowanej gospodarki rynkowej można napotkać frazę „zakładamy kontinuum handlarzy” (...) Ale co właściwie oznacza „kontinuum”? Brzmi to dość niewinnie, ale wyrażone prostymi słowami może sprawić, że ludzie zaczną kwestionować realizm każdego artykułu akademickiego opartego na tym założeniu, a nawet zaczną wątpić, czy w ogóle warto go opracowywać. Sformułowanie to oznacza bowiem, że liczba osób, zarówno indywidualnych, jak i firm, prowadzących handel w tej teoretycznej gospodarce jest nie tylko duża, ale dosłownie nieskończona. W rzeczywistości, aby być ściśle precyzyjnym, oznacza to nawet więcej niż to, co stwierdziliśmy powyżej. Gdyby zacząć zliczać kolejno liczby całkowite — jeden, dwa, trzy i tak dalej — można by to robić w nieskończoność. Jest ich nieskończenie wiele (...). Ale matematycy mają pozornie dziwaczną, ale jednak logiczną koncepcję nieskończoności, które są nawet większe niż ta nieskończoność! Kontinuum jest dokładnie jedną z nich. Innymi słowy, zakłada się, że istnieje nie tylko nieskończona liczba handlarzy w tym sensie, że zbiór liczb całkowitych jest nieskończony, ale istnieje ich jeszcze większa liczba niż ta.
Inwazja nieskończoności na teorię ekonomii rozpoczęła się wraz z Robertem J. Aumannem, laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii z 2005 r., który w swoim wpływowym artykule opublikowanym w czasopiśmie Econometrica z 1964 r[2]. argumentował, że najbardziej naturalny (sic!) model do celów opracowania pojęcia konkurencji doskonałej „zawiera kontinuum uczestników, podobne do kontinuum punktów na linii prostej lub kontinuum cząstek w płynie”[3].
Fizycy specjalizujący się w teorii atomowej i molekularnej od dawna uznają jednak, że wszystko w świecie materialnym ma charakter skończony[4]. Matematyk Eric Schechter w pouczającym eseju Why Do We Study Calculus[5]? wyjaśnia:
Użyj ołówka, aby narysować odcinek linii na kartce papieru o długości jednego cala. Oznacz jeden jego koniec jako „0”, a drugi jako „1” a następnie zaznacz jeszcze kilka punktów pomiędzy nimi. Odcinek linii reprezentuje przedział domknięty [0,1], który (przynajmniej w naszych umysłach) ma niepoliczalnie wiele elementów. Ale w jakim sensie ten niepoliczalny zbiór istnieje? Istnieje tylko skończenie wiele cząsteczek grafitu oznaczających papier, a w całym fizycznym wszechświecie, w którym żyjemy, istnieje tylko skończenie wiele (lub być może policzalnie wiele) atomów. Niepoliczalny zbiór punktów jest łatwy do wyobrażenia z matematycznego punktu widzenia, ale nie istnieje nigdzie w fizycznym wszechświecie.
Niepoliczalny typ nieskończoności nie jest zatem „rzeczywisty” w tym sensie, w jakim rzeczywiste są obiekty fizyczne — ani nawet w tym sensie, w jakim „rzeczywista” jest elementarna arytmetyka. Ta ostatnia, jak zauważył filozof Paul Lorenzen, jest dyscypliną syntetyczną a priori, zakorzenioną w naszej koncepcji postrzegania rzeczywistości jako takiej i naszym rozumieniu powtarzalności danych aktów działania. To pierwsze, z drugiej strony, jest czystą gimnastyką umysłową, zwykłym façon de parler (fr. sposobem wyrazu, sposobem mówienia – przyp. tłum.). Koncepcja wielu nieskończoności nie ma żadnych konstruktywnych podstaw i w rzeczywistości prowadzi do niespójności i sprzeczności w samej teorii matematycznej[6]. Jak zauważa Hans-Hermann Hoppe, należy ją zatem uznać za „epistemologicznie bezwartościową zabawę znaczeniami ”[7].
To rzeczywiście zastanawiające, że ta koncepcja sprawiająca tyle problemów w samej czystej matematyce jest wykorzystywana w ekonomii, której celem powinno być przecież badanie rzeczywistych bytów i rzeczywistych zjawisk. Aumann jest z pewnością zbyt dobrym matematykiem, by nie zdawać sobie z tego sprawy. I rzeczywiście, uważna lektura jego artykułu ujawnia, że był w pełni świadomy tego, co robił, ponieważ wyraźnie przyznaje, że „idea kontinuum handlarzy może wydawać się czytelnikowi niezrozumiała” i że wszędzie wokół nas zawsze istnieje „duża, ale skończona liczba cząstek (lub handlarzy, strategii lub możliwych cen)”, lecz — i tu pojawia się uzasadnienie użycia „niezrozumiałych” pojęć — „główny wynik [opracowanej teorii] obowiązuje tylko dla kontinuum handlarzy — jest fałszywy dla dowolnej skończonej liczby”.
Co istotne, podczas gdy Aumann doskonale zdaje sobie sprawę z tego, że struktura np. centrum handlowego wygląda na całkowicie nieciągłą dla jego klientów pod względem matematycznym, niemniej jednak „twórca polityki gospodarczej w Waszyngtonie (...) [który] pracuje z danymi liczbowymi zebranymi dla pewnych regionów geograficznych, różnych branż i tak dalej” nie dba o indywidualnego konsumenta (lub kupca) i wolałby raczej traktować ich w sposób ciągły, tak jak fizyk traktuje poszczególne cząsteczki. Prawdziwą motywacją stojącą za wprowadzeniem tej „złej metafizyki” do ekonomii z pewnością nie była pomoc w identyfikacji prawidłowych mechanizmów działania gospodarki rynkowej, ale raczej dostarczenie użytecznego narzędzia dla potencjalnych decydentów.
Aby jednak właściwie ocenić wkład Aumanna w kategoriach ekonomicznych, kluczowe jest zastanowienie się, co dokładnie Aumann ma na myśli, gdy postuluje, że liczba podmiotów rynkowych powinna być nieskończenie niepoliczalna. Wiemy już, że nigdzie w prawdziwym, fizycznym świecie nie istnieje nic, co choćby zdalnie przypominałoby zbiór o strukturze kontinuum.
„Aproksymacją” tego, jak naprawdę wygląda sytuacja na rynku, na którym poszczególni agenci mają niewielki wpływ na cenę, czyli przybliżeniem wciąż przesadnym, ale przynajmniej intuicyjnie wyobrażalnym, może być założenie, że handlowcy są niczym poszczególne liczby całkowite. Doprecyzowując, należy stwierdzić, że jest ich tak wielu — co pozwoli wykazać — iż każda dana ilość jest niewystarczająca, aby objąć ich wszystkich. Ale mimo to można ich wymienić lub ponumerować, np. mówiąc, że pan X jest pierwszy, pan Y drugi, pan Z trzeci i tak dalej. Ale nie można tego zrobić z zbiorem nieprzeliczalnym!
Co więcej, jeśli agenci byliby bytami trójwymiarowymi oraz cechowałby ich pewien minimalny „rozmiar” (opisany w kategoriach danej przestrzeni matematycznej — przyp. tłum.), to z elementarnej teorii zbiorów wynika, że w trójwymiarowej przestrzeni może być ich tylko policzalnie wielu. Ponieważ Aumann chce, aby jego handlarze zostali umieszczeni na linii będącej podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, to jego założenie zasadniczo sprowadza się do myślenia o ludziach jako bezwymiarowych punktach, pozbawionych ciał, masy czy jakichkolwiek innych cech fizycznych.
Nic jednak dziwnego, że narzędzia opracowane na bazie źle pojętej abstrakcji zostały użyte do opracowania jeszcze bardziej absurdalnych teorii, na co zwrócił uwagę wybitny ekonomista matematyczny Nicholas Georgescu-Roegen. Ekonomiści Donald Brown i Abraham Robinson w artykule wysłanym do oficjalnego periodyku amerykańskiej Narodowej Akademii Nauk zakładają, że istnieje więcej handlarzy niż elementów kontinuum. Implikacją takiego założenia musi być to, że nawet przestrzeń euklidesowa jest zbyt mała dla tak wielkiej liczby elementów, tzn. nie ma możliwości, aby ich wszystkich tam pomieścić!
Podążając za przykładem Aumanna, Rudiger Dornbusch, Stanley Fischer i Paul A. Samuelson postanowili opracować uogólnienie klasycznej analizy handlu międzynarodowego Ricarda zakładając, że liczba towarów jest nieskończenie niepoliczalna. Oczywiście, jak zauważa Ludwig von Mises, nie każda forma uogólnienia teorii jest celowa.
Moglibyśmy zbudować cały teoretyczny gmach ekonomii obejmujący wszystkie możliwe do wyobrażenia warunki (np. praca nie powodująca przykrości), a następnie logicznie wydedukować z nich wszystkie możliwe implikacje. Niemniej jednak takie działanie (używając trafnego wyrażenia Misesa) byłoby jedynie gimnastyką umysłową, ponieważ prawdziwa nauka — o ile jej celem jest rozpoznanie mechanizmów funkcjonowania prawdziwego świata — musi brać pod uwagę tylko te warunki i okoliczności, które są dane w rzeczywistości, a nie istnieją w jakimś wyimaginowanym świecie[8].
Ale jest w tym coś więcej. Ponownie bowiem, podobnie jak w modelu Aumanna, powinniśmy zapytać jakie jest znaczenie i rzeczywisty sens założenia, że w gospodarce istnieje kontinuum dóbr. Matematycznie rzecz ujmując, jeśli zbiór jest nieprzeliczalny, to można od niego odjąć nieprzeliczalnie wiele elementów, pozostawiając wciąż nie mniej niż nieprzeliczalnie wiele elementów (różnica dwóch zbiorów nieprzeliczalnych musi być równa innemu zbiorowi nieprzeliczalnemu — przyp. tłum.)! Co więcej, procedura ta może być powtarzana w kółko bez zmniejszania „rozmiaru” pierwotnego zasobu dóbr. Jako prosty przykład możemy sobie wyobrazić proces usuwania „nieparzystych” przedziałów jednostkowych — np. (0,1), (2,3), (4,5)… itd. — z prostej rzeczywistej. Mimo tego wciąż pozostają te „parzyste” przedziały składowe, z których każdy jest nieskończenie nieprzeliczalny.
Co to oznacza w kategoriach ekonomicznych? Może to oznaczać tylko jedno: fakt, że pojedyncza osoba konsumuje jednostkę dobra nie zmniejsza całkowitej dostępnej podaży dóbr, implikuje to, że postulowany model odrzuca najbardziej fundamentalną zasadę ekonomii, a mianowicie rzadkość dóbr! Samuelson w swoich legendarnych Zasadach analizy ekonomicznej przyznaje, że „przedmiotem ekonomii jest badanie tego, jak ludzie decydują się wykorzystywać rzadkie lub ograniczone zasoby produkcyjne”. Ekonomiści głównego nurtu nie zawsze praktykują to, co głoszą.
Ekonomiści matematyczni prawdopodobnie sprzeciwiliby się w tym momencie twierdząc, że wyżej wspomniane „niefortunne” przykłady są jedynie pewnym kompromisem czy też konieczną ceną, jaką trzeba zapłacić za matematyzację oraz wykorzystanie abstrakcyjnych narzędzi. Jak jednak zauważył Roderick Long, abstrakcja nie musi być nierealistyczna[9].
Mark Blaug będący oczywiście ekonomistą głównego nurtu nie mógł być bardziej trafny w swoich opiniach, gdy w jednym z wywiadów opisał stan obecnej ekonomii jako rodzaj „matematyki społecznej”, która co prawda używa pojęć takich jak „cena”, „rynek” czy „towar”, ale nadaje im czysto matematyczne znaczenie, bez analogii do obserwacji zakorzenionych w świecie rzeczywistym[10].
Co zatem można zrobić z teorią ekonomii, której modele przypominają żarty o tym, ile słoni można zmieścić w lodówce? I jak, biorąc pod uwagę nadreprezentację często niemożliwej do rozszyfrowania matematycznej symboliki, odróżnić dobrą ekonomię od złej? Diran Bodenhorn pisze na ten temat w sposób następujący:
Wielu ekonomistów matematycznych sugeruje, że komunikacja między ekonomistami stosującymi metodę werbalną a tymi stosującymi metodę matematyczną byłaby znacznie ułatwiona, gdyby ekonomiści werbalni nauczyli się więcej matematyki (...). Jednak możliwe jest również, że komunikacja mogłaby ulec poprawie, gdyby ekonomiści matematyczni pojęli, o co chodzi w ekonomii (...). Co więcej, komunikacja mogłaby ulec poprawie, gdyby ekonomiści matematyczni jasno określili swoje założenia ekonomiczne werbalnie i omówili w pełni skutki ekonomiczne modelu matematycznego, który stosują[11].
Dobry test przydatności teorii ekonomicznej polega na dokładnym zbadaniu jej założeń. Jeśli są one w oczywisty sposób absurdalne, nierealistyczne, a nawet niemożliwe do praktycznej implementacji — jak założenie kontinuum handlowców lub towarów w gospodarce — wówczas taka teoria nie ma nic ważnego do powiedzenia na temat tego, jak rzeczy się naprawdę mają i powinna być traktowana jako żart, którym w rzeczywistości jest.
Źródło ilustracji: pixabay
